Aircraft Manual - Do-217 K-1 Bedienungsvorschrift Fl by PDF

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Bei den Reihen ist aber der Sprachgebrauch, dass ein erf¨ ulltes Konvergenzkriterium die Konvergenz der Reihe bereits sichert. h. |an+1 + · · · + am | < ε gilt. Das folgt nat¨ urlich daraus, dass eine reelle oder komplexe Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchyfolge ist. — Da unter den Cauchyabschnitten auch die Summanden selbst sind, folgt aus dem Cauchykriterium insbesondere, dass die Summandenfolge einer konvergenten Reihe eine Nullfolge sein muss. Das ist aber kein Konvergenzkriterium: Lemma und Definition: F¨ ur die Konvergenz einer reellen oder komplexen Reihe ∞ a ist es offenbar notwendig, dass die Sumk=0 k mandenfolge (an ) 0 eine Nullfolge ist, aber das allein ist nicht hinreichend, wie das Beispiel der divergenten so genannten harmonischen Reihe ∞ n=1 1 =∞ n zeigt.

Wenn also zum Beispiel ab einem festen k0 und f¨ ur ein festes q < 1 das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium f¨ ur alle x ∈ X zugleich greift, dann ist die Konvergenz der Reihe sogar gleichm¨aßig. Definition: Ist z0 ∈ C und (ak )k heißt die auf C durch 0 eine komplexe Zahlenfolge, so ∞ ak (z − z0 )k k=0 definierte Funktionenreihe eine komplexe Potenzreihe um den Punkt z0 . Die ak nennt man die Koeffizienten der Potenzreihe. Der Punkt z0 ∈ C ist also fest, w¨ahrend z ∈ C die Variable der Funktionen bezeichnet.

4 Potenzreihen Eine allgemeine Bemerkung u ¨ber Funktionenreihen vorweg. Sei X irgend eine Menge und (fk )k 0 eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen darauf, dann liefern die Konvergenzkriterien des vorigen Abschnitts nat¨ urlich Kriterien f¨ ur die punktweise Konver∞ genz der Funktionenreihe ur einen festen Punkt k=0 fk , denn f¨ f (x) einfach eine Zahlenreihe. h. gilt ∃ k0 ∈ ∀ ∀ |fk (x)| k k0 x∈X bk , so konvergiert die Funktionenreihe gleichm¨aßig auf X, da ihre Teilsummenfolge dann eine gleichm¨aßige Cauchyfolge ist.

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by Charles
4.2

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